PROPÓSITO:

Factorizar, expresiones algebraicas, utilizando el caso 7: trinomio de la forma ax2 + bx + c.

Resolver los incisos del 1 al 9 del ejercicio 100 del Algebra de Baldor.

Resolver los incisos del 10 al 27 del ejercicio 100 del Algebra de Baldor.

Descarga el resumen de los principales casos de factorización aquí

Profe Julio - Algebra

EXAMEN DE PRODUCTOS NOTABLES

PROPÓSITO: Simplificar cálculos por medio de las propiedades de las operaciones de multiplicación de expresiones algebraicas

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.

a) Multiplicar     2a²   por   3a³

Repuesta: 2a² × 3a³ = 2×3a² = 6a⁵

Multiplicación de Polinomios: Se multiplican todos los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio teniendo en cuenta la Ley de los Signos, y se reducen los términos semejantes.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

 A continuación veremos algunas expresiones y del lado derecho de la igualdad, la forma de factorizarlas.

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado 

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración: 

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades 

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda

Demostración:

Otros casos:

1)

Demostración:

2)

Demostración:

3)

Demostración:

4)

Demostración:

A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables:

I. Resuelve las siguientes operaciones matemáticas con los números reales.

1. Señala con una flecha el resultado de cada enunciado aritmético

a)         – 4 + 5 – 7                                                  5

b)         5(2 + 5 – 6)                                              –6

c)         4 – 2(3 – 9)                                                 4

d)         (5 – 6) – (2 – 7)                                        16

e)         8 – 3(5 – 1)                                              –4

2. Escribe falso o verdadero al frente de cada enunciado en caso de que sea FALSO justifica tu respuesta                                       Justificación (Soluciónelo)

a)   – 2 + 9 – (4 – 6)   = 5                     (___) _____________________________

b) 2 + 3(4 – 8) – 3(2 – 5)   = –1            (___) _____________________________

c) 8(2 – 5) + 4 – 8 –(2 – 1) = 4              (___) _____________________________

d) 5 – 3(4 – 8) – 9 + (8 –13) =2             (___) _____________________________

3. Completa la siguiente tabla encontrando el resultado teniendo en cuenta la fórmula que se debe emplear y sus respectivos signos

1. Resuelve cada operación con fraccionario

a)                               b)                     b)

a)                               

b)                   

II. Caracteriza, y resuelve los siguientes ejercicios que involucran expresiones algebraicas.

1. Defina las siguientes partes de un monomio y señálelas:  

• Coeficiente:__________________________________________________

• Parte literal:_________________________________________________

• Grado: _____________________________________________________

2. Dada la siguiente lista de expresiones algebraicas escribe en la tabla los que son monomios, binomios, trinomios y polinomios.

 3x – 2                  2n² - 5n + 3              5x + 6y             5x²

4ax⁴y³ + x²y + 3ab²y³         3xy³zb⁴           3 + x – 8 + z      4 – 2y

4x⁴ -2x³ + 3x² – 2x + 5          3xbz³ – 4xy² + 8xy⁴z           3xbz³          

  23                          4x⁴ – 2x³ + 5x⁴ – 2x³

3. Relaciona con una flecha la solución de cada expresión algebraica.

a)      4x + 7y + 9x – 6y – 6x – 5x                (___)     -6x + 3y

b)      3y + 7x + x – 4y + 5x                          (___)     9y + 8x

c)      -9x – 4y – 5x + 2y – x                          (___)   –15x – 2y

d)      8y + 5x + 3x – 8y + 9y                         (___)     13x – y

e)      2x – 5x – 9y + 12y – 3x                       (___)       2x + y

4. Reduce el siguiente polinomio a su mínima expresión.

a)      3c – 9c + 3p – 4c – 8p + 6c + 10p + 7c – 8p – 9c + 8p – 5c +11p – 8c    =

b)      4x² + 6x - 9x² - 2x + 4 – 6x² + 9x - 2x² - 4x + 9 – 6x + 7 – 11x²              =

5. Realiza la operación indicada en cada ejercicio.

a)      ( 3x² - 9x + 1) + (x² -2x + 4)           =

b)      (-6x² + 4x – 9) + (-3x² - x + 2)      =         

c)      (3x + 3) + (2x² + x)                         =

d)      (2x² + x – 1) + ( 3x³ + 4x² – 5)      =

e)      (7y² – 6y + 9) + ( -8y² – 2)             =

PROPÓSITO: Simplificar cálculos por medio de las propiedades de las operaciones reducción, suma y resta de expresiones algebraicas.

Reducción de términos semejantes

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo:

6 a²b³ es término semejante con – 2 a²b³ porque ambos tienen el mismo factor literal (a²b³)

1/3 x⁵yz es término semejante con x⁵yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x⁵yz)

0,3 a²c no es término semejante con 4 ac² porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Recordando cómo se suman los números enteros:

Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.

Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.

      Ej  :         – 3   +   – 8  =   – 11      ( sumo y conservo el signo)

                      12   +   25  =   37       ( sumo y conservo el signo)

        Ej  :   – 7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  -  7  =   5

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto

                    5   +   – 51   =   – 46    ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

                   – 14  +   34   =    20

Recordando cómo se resta: 

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.

Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a)      Cambiar el signo de la resta en suma

b)      Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej:      – 3  –  10    =    – 3    +  – 10  =    – 13   ( signos iguales se suma y conserva el signo)

            19   – 16    =      19 +  – 16   =     19   –    16    =    3

Ejemplo 1:

xy³ – 3 x²y + 5 xy³ – 12 x²y + 6                 Hay dos tipos de factores literales: xy³ y x²y

               Hay también una constante numérica: 6

Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de  xy³ con  5xy³  y –3 x²y con –12 x²y.

Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un número significa que es 1 (x³y = 1 xy³).

xy³ – 3 x²y + 5 xy³ – 12 x²y + 6  =        6 xy³  +  – 15 x²y + 6       

             1 + 5 = 6

               – 3 – 12 = – 15

Ejemplo 2:

3ab – 5abc + 8ab + 6abc –10 + 14ab – 20 =  25ab + 1abc – 30

 Operaciones:

                3 + 8 +14 = 25 ab

                – 5 + 6     =  + 1 abc

                – 10 – 20 = – 30

Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros 

Procedimiento 

1.  Se ordenan los polinomios

2.  Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo

3.  Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, según el caso

4.  Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna

5.  Se efectúa la suma indicada

Signos de agrupación

Supresión de signos de agrupación

P r o c e d i m i e n t o

1.  El secreto radica en ir suprimiendo, sucesivamente, los signos de agrupación más interiores

2.  Cuando el signo de agrupación está precedido del signo +, no se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes"

3.  Cuando el signo de agrupación está precedido del signo menos, se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes"

4.  Se reducen los términos semejantes

Suma de polinomios y valor numérico

P r o c e d i m i e n t o

1.  Se ordenan los polinomios

2.  Se suman los polinomios

3.  En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico

4.  Se efectúan las operaciones indicadas y se reduce el resultado

Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 2, b = 3, c = 10, x = 5, y = 4, m = 2/3, n = 1/5.

PROPÓSITO: Resolver, entre monomios y polinomios algebraicos, operaciones matemáticas.

ÁLGEBRA DE POLINOMIOS

Una vez que hemos estudiado los monomios, aprenderemos el  álgebra de polinomios. Un polinomio es la suma indicada de un número finito de monomios de distinto grado.

Cada uno de los monomios que integran un polinomio se llama término.

Estudiaremos los polinomio con una indeterminada, que constan de monomios de una sola indeterminada (y la misma en todos). Además todos los coeficientes del polinomio (que son los coeficientes de los monomios que lo forman) serán números reales (enteros, fraccionarios o irracionales). Un polinomio de este tipo se llama polinomio con una indeterminada, sobre R. R es el conjunto de los números reales.

Ejemplos: 

P(x) = 3x⁴ -7x³ + 5x² + x – 1

Q(z) = -z⁵ + 2z³ - z² + 7 

Son dos ejemplos de polinomios. El primero es el polinomios P de indeterminada x, que se representa por P(x) (se lee “p de x”). El segundo es el polinomio Q de indeterminada z, que se representa por Q(z) (se lee “Q de z”).

Grado de un polinomio es el de su monomio de mayor grado. Así, el grado de P(x) es 4 porque, de todos los monomios que lo forman, el monomio de mayor grado es 3x⁴, de grado 4. Por la  misma razón, el grado de Q(z) es 5.

Los polinomios se escriben ordenados. Polinomio ordenado es el que lo está según los grados de sus monomios. Normalmente se escriben en el orden decreciente de los grados.

En los ejemplos anteriores P(x) está ordenado por los grados de sus monomios desde el de grado 4 (el monomio 3x⁴), hasta el de grado 0 (el monomio –1 que, en realidad es –1x⁰, pero que teniendo en cuenta que x⁰ = 1, se escribe abreviadamente –1).

Un polinomio completo de grado n es el formado por n+1 monomios, desde el de grado n hasta el de grado 0.

El anterior polinomio P(x) es completo, pero Q(z) no lo es (le faltan los monomios de grado 4 y de grado 1.

Un polinomio, en general, se representa por la expresión algebraica:

P(x) = axⁿ + bx³ + cx² + … + px + q

Donde los números  a, b, c,…, p, q son los coeficientes del polinomio x es la indeterminada (la misma para todos los monomios), y N es el grado del polinomio (el mayor de los grados de sus monomios). Los puntos suspensivos indican otros monomios que no se escriben.

Valor numérico de un polinomio P(x) para x = a, es el número que resulta al sustituir x por el número a, y realizar las operaciones indicadas. El valor numérico de P(x) para x = a se representa P(a).

Ejemplo:

Hallar el valor numérico de  

P(x) = x³ - 2x² + x – 1

Para x = 2. 

P (2) = 2³ – 2·2² + 2 – 1 = 8 – 8 + 2 –1 = 1

P (2) = 1

OPERACIONES MATEMÁTICAS CON POLINOMIOS

PROPÓSITO: - Caracterizar, términos a partir de expresiones algebraicas.

                           -Resolver, situaciones problemas, empleando expresiones algebraicas.

ENSEÑANZAS:

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2 r, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a³, donde a es la arista del cubo.

Tipos de expresiones algebraicas

Monomios  

Un MONOMIO es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

2x² y³z 

Partes de un monomio:

• Coeficiente: El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables

• Parte literal: La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

• Grado: El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

 Binomio

Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.

Trinomio

Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.

Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

2x²y³z es semejante a 5x²y³z

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Dos números consecutivos: x y x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.